The Quadratic Formula
$ax^2 + bx + c = 0 \;\;(a \neq 0)$
$\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
— "한 줄에 담긴 4000년의 지혜"
Core · 유도
완전제곱식 풀이로부터 유도
Derivation from CTS
일반형 $ax^2 + bx + c = 0$ 에 완전제곱 만들기 적용
$ax^2 + bx + c = 0$
시작
$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = 0$
① 양변을 $a$ 로 나누기
$x^2 + \dfrac{b}{a}x = -\dfrac{c}{a}$
② 상수항 우변으로
$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{b^2}{4a^2} = -\dfrac{c}{a} + \dfrac{b^2}{4a^2}$
③ $\left(\dfrac{b/a}{2}\right)^2 = \dfrac{b^2}{4a^2}$ 양변에 더하기
$\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
④ 완전제곱식 + 우변 통분
$x + \dfrac{b}{2a} = \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
⑤ 제곱근 풀이
$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
⑥ $-\dfrac{b}{2a}$ 이항해 정리
핵심. 완전제곱식 풀이는 구체적인 수에 대한 것이지만, 근의 공식은 그 풀이를 변수 $a, b, c$ 에 대해 일반화한 것이다. 그래서 모든 이차방정식에 즉시 사용 가능.
Insight · 판별식
판별식 $D = b^2 - 4ac$ — 근호 안의 값
The Discriminant
근호 안의 값이 모든 것을 결정한다
$D = b^2 - 4ac$ — 이 값의 부호로 근의 개수가 결정된다.
근의 공식의 $\pm$ 앞에 있는 $\sqrt{b^2-4ac}$ 가 어떤 값이 되느냐가 핵심.
판별식 D
D > 0
서로 다른 두 실근
$\sqrt{D}$ 가 0이 아닌 실수 → $\pm$ 부호로 두 값.
판별식 D
D = 0
중근 (한 실근)
$\sqrt{0} = 0$ → $x = -\dfrac{b}{2a}$ 단 하나.
판별식 D
D < 0
실수 범위 해 없음
음수의 제곱근은 실수가 아니다.
Ⅲ-2.1에서 판별식을 더 자세히 다룬다 — 미리 익혀두면 풀이 전 근의 개수를 한 번에 안다.
Shortcut · 짝수공식
$b$ 가 짝수일 때 — 짝수공식
Even-$b$ Shortcut
일차항 계수가 짝수면 분모·분자 모두 절반
$b = 2b'$ (즉 $b'$ = $b$ 의 절반) 인 경우, 근의 공식을 다음과 같이 줄여 쓸 수 있다.
$x = \dfrac{-b' \pm \sqrt{b'^2 - ac}}{a}$
$b = 2b'$ 대입 후 분모·분자를 2로 약분한 결과. 계산이 한결 깔끔해진다.
- 예) $x^2 - 6x + 4 = 0$ → $a=1, b'=-3, c=4$ → $x = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{1} = 3 \pm \sqrt{5}$
- 예) $x^2 + 4x - 2 = 0$ → $a=1, b'=2, c=-2$ → $x = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4 + 2}}{1} = -2 \pm \sqrt{6}$
짝수공식은 선택사항이지만, $b$ 가 짝수일 때 계산이 훨씬 간단해지므로 익혀두는 편이 좋다.
Interactive · 계산기
근의 공식 계산기
Quadratic Formula Calculator
$a, b, c$ 를 입력하면 판별식과 해를 한 번에 계산한다.
Quick Check · 즉문즉답
5문제 즉시 점검
Five Rapid Questions
Q1. $x^2 - 5x + 3 = 0$ 의 판별식 $D$ 의 값을 구하라.
Q2. $x^2 - 5x + 3 = 0$ 의 해를 근의 공식으로 구하라. (예: x=(5±√13)/2)
Q3. $x^2 - 2x - 1 = 0$ 의 해를 짝수공식으로 구하라. (예: x=1±√2)
Q4. $x^2 + 3x - 4 = 0$ 의 근의 개수는? (선택: 두 실근 / 중근 / 해 없음)
Q5. $x^2 + x + 1 = 0$ 의 근의 개수는? (실수 범위)
Examples · 예제
풀이가 있는 두 예제
Worked Examples
예제 1
$3x^2 + 5x - 1 = 0$ 의 해를 근의 공식으로 구하라.
$a = 3, b = 5, c = -1$ 을 대입.
- 판별식 $D = b^2 - 4ac = 25 - 4\cdot 3\cdot(-1) = 25 + 12 = 37$
- $D > 0$ → 서로 다른 두 실근 존재
- 근의 공식 대입 → $x = \dfrac{-5 \pm \sqrt{37}}{2 \cdot 3} = \dfrac{-5 \pm \sqrt{37}}{6}$
- 결과 → $x = \dfrac{-5 \pm \sqrt{37}}{6}$
예제 2
$x^2 - 4x + 2 = 0$ 의 해를 짝수공식으로 구하라.
$b = -4 = 2 \cdot (-2)$ → $b' = -2$. 짝수공식 활용.
- $a = 1, b' = -2, c = 2$
- $b'^2 - ac = 4 - 2 = 2$
- $x = \dfrac{-b' \pm \sqrt{b'^2 - ac}}{a} = \dfrac{2 \pm \sqrt{2}}{1}$
- 결과 → $x = 2 \pm \sqrt{2}$
Practice · 연습
난이도별 연습 8문제
Eight Graded Problems
01★
$x^2 - 3x + 1 = 0$ 의 판별식 $D$ 의 값을 구하라.
02★
$x^2 - 3x + 1 = 0$ 의 해를 근의 공식으로 구하라. (예: x=(3±√5)/2)
03★★
$x^2 + x - 5 = 0$ 의 해를 구하라.
04★★
$x^2 - 4x + 1 = 0$ 의 해를 짝수공식으로 구하라.
05★★
$2x^2 + 3x - 1 = 0$ 의 해를 구하라.
06★★
$x^2 - 6x + 9 = 0$ 의 근의 개수는? (두 실근 / 중근 / 해 없음)
07★★★
$2x^2 + x + 3 = 0$ 의 근의 개수는?
08★★★
$3x^2 + 2x - 2 = 0$ 의 해를 구하라.
근의 공식 — 모든 이차방정식의 만능 열쇠
인수분해가 안 되어도, 깔끔한 정수 해가 없어도, 무리수 해여도, 심지어 실근이 없어도 — 근의 공식 한 줄이면 모든 것이 드러난다. 다음 단원에서는 이 판별식으로 근의 개수를 한 번에 분석하고, 두 근의 합과 곱이 계수만으로 결정된다는 비에트의 정리를 만난다.
"One line, every quadratic."